图形学中常见的变换 | Blurred code

图形学中常见的变换

2019/08/09

Updated:2021/02/23

Categories: CG cpp

引言: https://learnopengl.com/Getting-started/Transformations 这里讲得不错。这篇文章不过是对链接指向地址的简单摘要。此外,推荐<Foundation of 3D computer graphics>,前六章的数学基础讲得不错。

为什么要用齐次坐标?

Why use homogeneous matrix? 图形学中常用4x4矩阵来进行变换,因为 1. 升维后的向量能够帮助我们区分向量, 2 在齐次坐标下可以统一线性变换和平移变换。

考虑如下 \( \vec{v} \)

\[ \left[ \begin{array}{cc} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \end{array} \right] \]

它可能代表一个,也可能代表一个向量。 一个向量和一个向量的一些操作是有物理含义的,如\(\vec x + \vec y\),代表\(\vec x\)\(\vec y\)向量方向的串接。而两个点相加的操作是无意义的,你也不可能对一个点做放大(scale)的线性变换,同理,一个向量代表着某种方向,对某个方向做平移(translate)操作是毫无意义的。因此,我们为向量和点的表示再添加一个维度,最后一个维度为0的坐标表示这是一个向量,而最后一个维度为1的代表这是一个点。

一个向量:

\[ \left[ \begin{array}{cc} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \\ 0 \end{array} \right] \]

一个点

\[ \left[ \begin{array}{cc} x_{1} \\ y_{1} \\ z_{1} \\ 1 \end{array} \right] \]

矩阵与矩阵的操作需要保持相同的维度,所以变换的矩阵也要升维为4*4矩阵。

常用的仿射变换

仿射变换主要由三种线性变换和非线性的平移变换组成。

Scaling

代表缩放,我们对向量缩放代表着增加它的"模",从物理上,代表着沿着它原有的方向,代表着更远的运动。

\[\left[ \begin{array}{cc} S_{1} \\ & S_{2} \\ & &S_{3} \\ &&& 1 \end{array} \right] \cdot \left( \begin{array}{cc} v_{1}\\ v_{2} \\ v_{3} \\ 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} S_{1} \cdot v_{1}\\ S_{2} \cdot v_{2} \\ S_{3} \cdot v_{3} \\ 1 \end{array} \right)\]

rotation

这里采用右手坐标系。 一个二维的旋转矩阵可以表示为,其中\(\theta\)代表逆时针旋转的角度。

\[ \left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{array} \right] \]

二维的旋转默认以原点为中心,以z轴作为旋转轴,由此推广到三维

\[ \left[ \begin{array}{cc} \cos\theta & -\sin\theta & 0 &0 \\ \sin\theta & \cos\theta & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \]

表示三维空间内,绕z轴的逆时针转动\(\theta\)角。 比较特殊的是绕y轴旋转,符号是反的(因为x轴crossz轴得到的方向和y轴相反)

\[ \left[ \begin{array}{cc} \cos\theta &0 & sin\theta & 0 \\ 0 & 1 & 0 &0 \\ -\sin\theta &0 & \cos\theta & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \]

可以推广到绕任意轴\(\vec{n}\)逆时针旋转\(\theta\):

\[ \mathbf{R(n,\theta) = \cos\theta I + (\text{1} - \cos\theta)nn^T + \sin\theta} \begin{Bmatrix} 0 & -n_z & ny \\ n_z & 0 & -n_x \\ -n_y& n_x &0 \end{Bmatrix} \]

shear

三维shear用的比较少。

\[ T = \begin{bmatrix} 1 & sh_y^x & sh_z^x & 0\\ sh_x^y & 1 & sh_z^y & 0\\ sh_x^z & sh_x^y & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

\[ V' = T \cdot V \\ V'.x = V.x + sh_y^x V.y + sh_z^x V.z\\ ... \]

Translation

移动代表着把一个向量加到原有的向量上,返回新的向量。

\[ \left[ \begin{array}{cc} 1 &&&T_{x} \\ &1&&T_{y} \\ &&1&T_{z} \\ &&& 1 \\ \end{array} \right] \cdot \left( \begin{array}{cc} v_{1}\\ v_{2} \\ v_{3} \\ 1 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} T_{x} + v_{1}\\ T_{y} + v_{2} \\ T_{z} + v_{3} \\ 1 \end{array} \right) \]

其中,\(T_x,T_y,T_z\)分别代表原向量沿着\(x,y,z\)三轴移动的距离。