直线与三角形相交Moller Trumbore算法推导 | Blurred code

直线与三角形相交Moller Trumbore算法推导

2020/04/03

Updated:2020/04/03

Categories: CG

Moller Trumbore算法是一种快速求解直线与三角形求交的算法,通过向量与矩阵计算可以快速得出交点与重心坐标。要推导它还比较麻烦,需要用到向量的混合积和克拉莫法则。

引理

引理1:

三阶方阵的行列式等于三个列向量的混合积。

\[ \begin{aligned} &\mathbf{a \cdot (b \times c)} = \mathbf{b \cdot (c \times a)} = \mathbf{c \cdot (a \times b)}& = \\ &\mathbf{a \cdot -(c \times b)} = \mathbf{b \cdot -(a \times c)} = \mathbf{c \cdot -(b \times a)}& = \end{aligned} \begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1\\ a_2 & b_2 & c_2\\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} \]

引理2:

克拉莫法则:

如果一个线性方程组 \(\mathbf{Ax = c}\), 其中A是可逆方阵,\( \mathbf{x,c}\)都是列向量,那么方程有解,且x的每一个解

\[ x_i = \frac{\det{A_i}}{\det{A}} \]

其中 \(A_i\)是被列向量取代了第i列的矩阵。

Moller Trumbore Algorithm

已知光线 \(\mathbf{Ray = O + \text{t}\vec{D}}\), 三角形三个顶点 \( P_0, P_1, P_2 \)。 光线与三角形相交时,有如下等式:

\[ \mathbf{O + \text{t}\vec{D}} = (1 - b_1 - b_2)\mathbf{P_0} + b_1\mathbf{P_1} + b_2 \mathbf{P_2} \]

则可以解

\[ \begin{bmatrix} t \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \mathbf{\frac{1}{S_1 \cdot E_1}} \begin{bmatrix} \bf{S_2 \cdot E_2}\\\bf{S_1 \cdot S}\\\bf{S_2 \cdot D} \end{bmatrix} \]

where:

\[ \begin{aligned} E_1 = P_1 - P_0\\ E_2 = P_2 - P_0\\ S = O - P_0 \\ S_1 = D \times E_2 \\ S_2 = S \times E_1 \\ \end{aligned} \]

推导过程

从这里开始

\[ \mathbf{O + \text{t}\vec{D}} = (1 - b_1 - b_2)\mathbf{P_0} + b_1\mathbf{P_1} + b_2 \mathbf{P_2} \]

括号展开,移项可得

\[ \mathbf{O - P_0} = \mathbf{(P_1 - P_0)}b_1 + \mathbf{(P_2 - P_0)}b_2 - t\mathbf{D} \]

观察一下上面的括号以及等式左边的内容,都是已知的,因此点的加减可以用向量来表示,令

\[ \begin{aligned} E_1 = P_1 - P_0\\ E_2 = P_2 - P_0\\ S = O - P_0 \\ \end{aligned} \]

得到

\[ \mathbf{S} = \mathbf{E_1} b_1 + \mathbf{E_2}b_2 - t\mathbf{D} \]

也即

\[ \begin{bmatrix} \mathbf{-D} & \mathbf{E_1} & \mathbf{E_2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t \\ b_1 \\ b_2 \end{bmatrix} = \mathbf{S} \]

这是一个形如 \(\mathbf{A}x = c\)的等式,所以可以用克拉莫法则。

\[ t = \frac{\det{ \begin{bmatrix} \mathbf{S} & \mathbf{E_1} & \mathbf{E_2} \end{bmatrix} }}{ \det{ \begin{bmatrix} \mathbf{-D} & \mathbf{E_1} & \mathbf{E_2} \end{bmatrix} }} \]

由向量混合积可以得出 分母部分:

\[ \det{ \begin{bmatrix} \mathbf{-D} & \mathbf{E_1} & \mathbf{E_2} \end{bmatrix} } = \mathbf{-D} \cdot ( \mathbf{E_1} \times \mathbf{E_2}) = \mathbf{E_1} \cdot ( \mathbf{D} \times \mathbf{E_2}) \\ 令S_1 = D \times E_2\\ 原式等于 E_1 \cdot S_1 \]

分子部分:

\[ \det{ \begin{bmatrix} \mathbf{S} & \mathbf{E_1} & \mathbf{E_2} \end{bmatrix} } = (\mathbf{S} \times \mathbf{E_1}) \cdot \mathbf{E_2}\\ 令S_2 = S \times E_1\\ 原式等于 S_2 \cdot E_2 \]

因此

\[ t = \frac{\mathbf{S_2 \cdot E_2 }}{\mathbf{E_1 \cdot S_1}}\]

其他的两个b1,b2参数可以同样推出来。